Croissances comparées

Propriété

Pour tout entier naturel $n$  non nul, on a $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{lim}{x}^n\ln (x)=0$  et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\ln (x)}{x^n}}=0$ .

Démonstration dans le cas où $\mathit{n}\mathbf{=}\mathbf{1}$

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\ln (x)=+\mathrm{\infty }$  .
  Par croissances comparées, $\underset{X\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{{\text{e}}^X}{X}}=+\mathrm{\infty }$  donc $\underset{X\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{X}{{\text{e}}^X}}=0$ .
  Par composée,  $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\ln (x)}{{\text{e}}^{\ln (x)}}}=0$  donc $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\ln (x)}{x}}=0$ .
• Pour tout réel $x>0$ , on a $x\ln (x)=-{\displaystyle \frac{\ln \left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}}$ .
  $\text{Missing open brace for subscript}$  et, par croissances comparées,  $\text{Missing open brace for subscript}$  
  donc, par composée,  $\text{Missing open brace for subscript}$ .
  $x\ln (x)=-{\displaystyle \frac{\ln \left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}}$  donc   $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{lim}x\ln (x)=0$ .