Croissances comparées

Propriété

Pour tout entier naturel \(n\)  non nul, on a \(\lim\limits_{\substack{x \to 0\\ x>0}}x^n\ln(x)=0\)  et \(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^n}=0\) .

Démonstration dans le cas où \(\boldsymbol{n=1}\)

• \(\lim\limits_{x \to +\infty}\ln(x)=+\infty\)  .
  Par croissances comparées, \(\lim\limits_{X \to +\infty}\dfrac{\text{e}^X}{X}=+\infty\)  donc \(\lim\limits_{X \to +\infty}\dfrac{X}{\text{e}^X}=0\) .
  Par composée,  \(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{\text{e}^{\ln(x)}}=0\)  donc \(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0\) .
• Pour tout réel \(x>0\) , on a \(\ x\ln(x)=-\dfrac{\ln\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}\) .
  \(\lim\limits_\color{green}{{\substack{x \to 0 \\ x>0}}}\dfrac{1}{x}=\color{red}{+\infty}\)  et, par croissances comparées,  \(\lim\limits_\color{red}{{X \to +\infty}}\dfrac{\ln(X)}{X}=\color{blue}{0}\)  
  donc, par composée,  \(\lim\limits_\color{green}{{\substack{x \to 0 \\ x>0}}}\dfrac{\ln\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}=\color{blue}{0}\) .
  \(x\ln(x)=-\dfrac{\ln\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}\)  donc   \(\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}}x\ln(x)=0\) .